หม่อมเจ้าวุฒิเฉลิม วุฒิชัย มีพระนามลำลองว่า ท่านหญิงปีนัง เป็นพระธิดาในพระเจ้าบรมวงศ์เธอ กรมหลวงสิงหวิกรมเกรียงไกร ประสูติแต่หม่อมประพันธ์ วุฒิชัย ณ อยุธยา (สกุลเดิม ชะตารุ่ง) ที่รัฐปีนัง ประเทศมาเลเซีย เมื่อวันที่ 21 พฤษภาคม พ.ศ. 2477 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่พระบิดาแปรที่ประทับจากสยาม ในเหตุการณ์การปฏิวัติสยาม พ.ศ. 2475

หม่อมเจ้าวุฒิเฉลิมทรงสำเร็จการศึกษาจากคณะอักษรศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย โปรดการวาดรูปและนิพนธ์หนังสือ มีงานอดิเรก คือทำสวน ตกแต่งที่ประทับ ออกแบบผ้าปักไหมและปักบนผ้าใบสำหรับแขวนกำแพง นิพนธ์หนังสือโดยใช้นามปากกาว่า “วุฒิเฉลิม” เช่น หนังสือ "ลายน้ำทอง” เขียนในรูปนวนิยายจากความทรงจำ เป็นเรื่องของชีวิตตอนปลายของพ่อ และเหตุการณ์ที่ประทับใจลูกตั้งแต่จำความได้จนสิ้นพ่อไป เป็นหนังสือได้รับรางวัลจากการประกวดหนังสือดีเด่น ประจำปี พ.ศ. 2544

หม่อมเจ้าวุฒิเฉลิมมีเจ้าพี่เจ้าน้องร่วมหม่อมมารดา ได้แก่ หม่อมเจ้าไกรสิงห์ วุฒิชัย, วุฒิสวาท อนุมานราชธน และวุฒิวิฑู พี.เทอเสน

ในพระราชพิธีบรมราชาภิเษก พระบาทสมเด็จพระปรมินทรมหาภูมิพลอดุลยเดช สยามินทราธิราช และ พระราชพิธีเฉลิมพระราชมณเฑียร พุทธศักราช 2493 หม่อมเจ้าวุฒิเฉลิม วุฒิชัย ได้เชิญเครื่องเครื่องเฉลิมพระราชมณเฑียร ลำดับที่ 5 พระแส้หางช้างเผือก[2]